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Les Points de Lagrange ou le démon de Kepler

 1. Les données scientifiques

Joseph-Louis Lagrange (Turin 1736-Paris 1813) est celui qui trouve une solution mathématique au problème des trois corps en rotation, en examinant « comment et dans quels cas les trois corps pourraient se mouvoir en sorte que leurs distances soient toujours constantes, ou gardent au moins des rapports constants ».

Il découvre ainsi l’existence de points mathématiques à des emplacements fixes déterminés par la géométrie : trois dans l’axe des deux corps (nommées L1, L2 & L3) et deux autres (L4 & L5) postés aux troisièmes sommets de deux triangles équilatéraux liés par un côté adjacent qui, dans le cas du système Terre-Lune, est le segment reliant ces deux corps (voir figure).

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Disposition des points de Lagrange
Pour distinguer les systèmes de référence, l’usage de diverses abréviations a été institué : les 5 points du système Soleil-Terre sont précédés des initiales "SE" (nous n’en montrons que deux ici, les autres étant situés trop loin), ceux du système Terre-Lune des initiales "EM" (Earth-Moon) et ainsi de suite pour les système Soleil-Mars, Soleil-Jupiter, etc.

Cette configuration diffère de la perception usuelle des satellites qui tournent autour d’un astre. (Alors qu’un satellite conventionnel tourne autour de la Terre et passe devant la Lune occasionnellement, un satellite au point L1 reste toujours au même endroit, entre cette dernière et la Terre.)

Les progrès de la science aidant, l’étude systématique des corps célestes a permis de découvrir des bandes d’astéroïdes parqués en L4 & L5 du système Soleil-Jupiter, qui « tournent » aussi vite que Jupiter autour du Soleil. Les astéroïdes en L4 (ceux qui précèdent Jupiter) ont été nommés « les grecs », et ceux en L5 (qui suivent Jupiter), les « troyens ».

Que se passe-t-il quand un objet à un point de Lagrange, prenons L2 du système Terre-Lune, entre dans la zone d’influence du système Terre-Soleil ? De fait, il peut sauter de l’un dans l’autre sans gros effort. On peut également le faire entre les L d’un système donné sans effort significatif.

Cela aboutit à la possibilité de trouver un chemin pour aller d’une planète à une autre facilement.

Des satellites comme Hiten (EM L4 et L5), SOHO (SE L1), WIND (SE L1), ISEE-3 (SE L1), Herschel Space Observatory (SE L2), Planck Space Observatory (SE L2), Chang’e 2 (SE L2) et ARTEMIS (EM L1 et L2) ont rejoint ces emplacements privilégiés et certains ont usé de cette possibilité de saut avec succès. Les futurs satellites Deep Space Climate Observatory (SE L1), Solar-C (SE L1), Gaia (SE L2), James Webb Space Telescope (SE L2), Wide Field Infrared Survey Telescope (SE L2) et ceux du Lunar Far-Side Communication Satellites (EM L2) le feront également.

Des chercheurs se sont pris au jeu et ont ainsi tracé une « autoroute » à travers le système solaire, que la sonde américaine Genesis a été la première à emprunter en 2001. Les chercheurs qui veulent questionner les lunes de Jupiter y songent fortement.

Cela semble très excitant de prime abord, mais nos ardeurs sont vites refroidies en raison des temps de parcours impliqués : il ne faut pas être pressé car les vitesses de croisière sont imposées et les distances fortement allongées. Les missions scientifiques s’en accommodent sans problème. Les missions humaines pas du tout, sauf dans un cas spécial, pour la Lune.

Dans l’espace, tout satellite artificiel semble accroché à son orbite, stable dans sa promenade. Ceci est faux. Il faut régulièrement recalibrer sa trajectoire en faisant usage des moteurs. C’est vrai pareillement pour les points de Lagrange situés dans l’axe des astres L1, L2 et L3. Par contre L4 et L5 sont plus stables et n’imposent pas ces corrections de trajectoire.

L4 et L5, de par leur stabilité, sont plus attractifs à première vue ; mais c’est sans compter sur le fait que la nature y a pensé avant nous ! Toutes ces poussières et cailloux qui se promènent dans l’espace trouvent en effet ici un marais, un trou, un puits, une véritable mer des Sargasses, où ils se perdent facilement s’ils n’ont pas une vitesse suffisante pour poursuivre leur route ! Le plus gros objet du système Terre-Soleil, 2010 TK7, qui vient d’être découvert en L4 en 2011, mesure 300 mètres de long [1]. Conséquemment ces endroits sont plus des décharges, des poubelles, que des plates-formes pouvant être utilisées par l’homme, du moins jusqu’à ce que l’on ne dispose des moyens nous permettant de nous y aménager des zones sécurisées.

 2. De l’usage par l’homme des points de Lagrange

Hormis un bout de la station spatiale ISS, tout ce qui est dans l’espace a été construit et assemblé sur Terre. Plus nous enverrons des engins ou des hommes, plus la demande de montage de structures de grandes dimensions se fera pressante et indispensable. Il faut regarder plus attentivement où installer le chantier naval de l’espace, là où seront construits les engins interplanétaires, et d’où ces engins devraient partir idéalement.

L’orbite terrestre perd vite son attrait vu l’encombrement prévu, et aussi pour une question de pollution : une multitude de débris provenant d’objets envoyés par l’homme depuis les débuts de l’âge spatial encombre déjà l’espace proche. De plus, les ceintures de Van Allen interdisent de travailler en orbite moyenne. [2] Restent l’orbite géostationnaire, située au delà des ceintures de Van Allen, l’orbite lunaire et, bien entendu, les points de Lagrange pour tout ce qui n’est pas destiné à l’observation terrestre rapprochée.

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Les ceintures découvertes par Van Allen sont plus dangereuses à cause des rayonnements
Crédit : de-la-terre-a-la-lune.com

L’usage qu’on veut faire de cette zone industrielle, ce sont surtout les missions vers Mars, les astéroïdes et le système solaire, les interventions en orbite géostationnaire de la Terre, et la défense en profondeur contre les astéroïdes géocroiseurs.

Une zone industrielle spatiale (ZIS)

Nous avons déjà les appareils pour fabriquer automatiquement des structures de type pylône (Tour Eiffel) dans des matériaux ultra légers et ultra résistants. Ces grandes structures rigides sont indispensables pour construire les accélérateurs de particules ou les lasers utiles en propulsion comme en production de matériaux. Mais il faut un endroit profitant d’un champ gravitationnel uniforme. Les orbites lunaires basses sont légèrement défavorisées de ce point de vue.

La quête de Mars & de la Lune imposera d’extraire des matériaux et de l’eau sur la Lune. Les soustraire à l’attraction lunaire pourra se faire sans souci, mais uniquement sous la forme de colis denses ou de pièces détachées. Il faut donc envisager un « chantier spatial ». Où l’installer ? Quand on n’a que peu de gens sur place, il faut disposer l’usine là où les hommes peuvent s’y sentir bien. Le critère de sécurité est primordial, puis le confort et enfin l’usage.

Pour la sécurité, l’orbite lunaire reste la plus avantageuse vu sa proximité. S’il faut un peu moins d’effort pour décrocher des points de Lagrange pour revenir sur Terre en cas de problème, il faut par contre un peu plus de temps. Pour le confort, les points de Lagrange (sauf L2) et l’orbite géostationnaire terrestre sont toujours en communication directe avec la Terre, alors qu’une base autour de la Lune disparaît à chaque rotation.

  Orbite géostationnaire terrestre EM L1 EM L2 EM L4/5 Orbite basse lunaire Surface lunaire
delta-V en km/s * 3.90 3.77 3.43 3.99 4.04 5.93
* au départ de l’Orbite basse terrestre parallèle au plan plan équatorial (LEO-Eq)

Cette ZIS étant orientée vers des usages géostationnaires et au-delà, le point de Lagrange EM L1 semble de prime intérêt, et EM L4 le deviendra sitôt le problème des poussières résolu. L’orbite lunaire sera choisie si l’on privilégie la sécurité des pionniers sur la Lune. EM L1 sera préféré dès que des travailleurs opéreront dans la ZIS, ou s’aventureront vers Mars.

Les voyages vers Mars

Nous venons de voir où ce vaisseau sera assemblé, il nous faut savoir à partir d’où le lancer. Pour la grande traversée vers Mars, quel est le meilleur port d’embarquement pour minimiser les risques inhérents à ce type de voyage ?

Comme les marins devaient embarquer dans une chaloupe pour rejoindre le navire à l’ancre, ces personnes devront d’abord prendre une navette pour quitter la Terre vers l’espace proche, puis embarquer dans un navire équipé pour le voyage vers Mars, incluant les vivres et les systèmes de protection contre les rayonnements cosmiques.

Le critère déterminant est ici énergétique : le delta V. Derrière ces mots se cache l’expression d’un travail. Il faut minimiser le travail pour s’extraire de là où l’on est, pour filer vers son objectif, pour se satelliser autour de Mars, pour y envoyer une navette, pour revenir par un chemin semblable, et pour récupérer les hommes et les échantillons pour les ramener sur Terre, du moins les premières fois. Il faut minimiser la quantité de combustible à emporter pour un temps de voyage donné.

Un moyen simple de prendre de la vitesse sans travail supplémentaire est de partir d’une hauteur. Dans l’espace, cette notion de hauteur s’exprime au mieux par les points de Lagrange. En effet une manière de prendre de l’élan est d’user depuis L4 et L5 de l’assistance gravitationnelle de la Lune (Voir figure L’effet de fronde gravitationnelle). Il faut dans ce cas que l’engin ait une vitesse déjà bien différente de celle de la Lune, ce qui est le cas quelques heures après le départ de L4. Les autres solutions partant directement des orbites géostationnaire ou lunaire n’offrent pas cette possibilité.

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L’effet de fronde gravitationnelle
Dans un premier temps, l’engin spatial, au départ de L4 et L5 s’approche de la Lune et finit par rentrer dans sa zone d’influence. Le champ gravitationnel attire de plus en plus l’engin spatial qui voit sa vitesse augmenter : il « tombe » vers la Lune et donc accélère. La trajectoire de l’engin a été établie de manière à éviter une collision avec la Lune. Il dépasse donc la Lune sain et sauf et sort progressivement de son champ gravitationnel, en perdant petit à petit de la vitesse. Du point de vue de la Lune, l’engin spatial a perdu autant de vitesse pendant la phase de sortie qu’il en a gagné pendant la phase d’entrée. Du point de vue du voyage vers Mars, sa vitesse a considérablement changé, en grandeur et en direction, car il y a gagné une part de la vitesse propre de la Lune. C’est l’effet de fronde gravitationnelle.

Pour la sécurité de l’expédition, et en comparaison à un voyage direct depuis les orbites terrestres ou lunaires, le point de Lagrange est avantageux : en cas d’avarie juste après le départ de L4, se présente la possibilité de procéder à un léger changement de trajectoire pour profiter de l’effet gravitationnel dans le sens inverse : un ralentissement du vaisseau et une redirection vers la Terre avant son entrée dans l’atmosphère terrestre.

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La Nasa et l’ESA se mobilisent contre les débris en orbite basse
Depuis la perte d’un satellite attribuée à ces débris qui stagnent en orbite basse et en orbite géostationnaires, là où les besoins de l’homme sont les plus primordiaux, la NASA puis l’ESA s’inquiètent de ces objets morts comme les anciens satellites hors d’usage, et surtout les vis et bouts de métal provenant des phases d’envols ou d’accidents. Ce que l’on voit sur l’autoroute après le choc de deux voitures, est à multiplier par mille dès qu’on est dans l’espace. Les gros objets sont repérables et peuvent être poussé dans l’atmosphère. C’est dorénavant prévu dès leur conception ; ce le sera pour les vieux débris par des satellites nettoyeurs dans quelques années. Mais les vis et éclats de métal inférieurs à la taille d’une gomme ne sont pratiquement pas détectables. Et il faudra bien les balayer un jour. Une coopération internationale se met donc lentement en place pour ce faire.
Un répertoire tenu par l’armée américaine recense les objets de 10 cm et plus, et il y en a 15 000 ! Une université allemande compile le catalogue de ceux de 1 cm et plus et leur estimation est de l’ordre de 110 000 objets ; et il faut aussi s’inquiéter des millimétriques, présent par centaine de millions ! L’ESA se dote donc de son réseau ([SSA, pour Space Situational Awareness). Même les futures nations spatiales ne pourront jamais profiter de la propreté des orbites comme le firent les puissances du 20e siècle, et elles devront collaborer ou prendre des risques.
En cas de guerre avec la Chine, les satellites espions et civils seraient attaqués et détruits. Ils ont déjà prouvé leur efficacité dans ce domaine et avec un missile et avec un laser. L’espace proche deviendrait alors invivable.
(Image : ESA)

La défense contre les astéroïdes

Cette menace, réactualisée le 15 février 2013 par l’astéroïde explosant au dessus de Tcheliabinsk, est prise au sérieux par la Russie. Toute une politique doit être mise en œuvre qui, entre autres, se traduira par la mise en place entre la Terre et la Lune de chasseurs d’objets menaçants. Où les disposer ?

Il faut se rapprocher de la cible. Ce géocroiseur évolue très rapidement et on ne le découvre, dans la plupart des cas, que quelques jours avant l’impact : voila le défi.

A titre de comparaison, l’idéal équivalent sur Terre serait une hauteur isolée, à partir de laquelle un chasseur peut débouler dans n’importe quelle direction à la moindre alerte. Les endroits similaires dans l’espace sont les points de Lagrange, qui nécessitent peu d’effort au poursuivant pour décrocher de son poste, mais lui offrent gratuitement un supplément d’élan dans la première partie de sa course.

L’alerte doit être donnée le plus tôt possible. Là encore les points de Lagrange sont des avant-postes pour surveiller l’espace, qui devront travailler automatiquement en cas d’alerte. ME L4 offrira en plus une trajectoire très large dans le ciel pour étendre l’angle de vision. ME L2 offre l’avantage de regarder en permanence l’espace proche terrestre, en bénéficiant de la protection de la Lune, contrairement à ME L1. Dans tous les cas il faut plusieurs observatoires qui coopèrent et donc discutent entre eux directement à la moindre alerte.

Au contraire, un poste satellitaire verrait régulièrement disparaître son ou ses collègues lors de ses passages derrière la Terre ou la Lune.

L’alerte avancée ou de précision contre les menaces des géocroiseurs imposera rapidement, aux postes de Lagrange L2 et L4, en plus de ceux situés sur Terre, l’installation de radars automatiques de surveillance en mutuelle coordination radio.

Rayonnement cosmique et survie dans l’espace

Nous savons depuis 1912 que l’espace est bombardé en permanence d’un rayonnement cosmique, agressif mais peu dense, provenant de toutes les directions.

Curiosity, dans son chemin vers Mars, nous a transmis ses premières mesures, qui nous disent que ce rayonnement cancérigène est à la limite du supportable. On pourra donc vivre dans l’espace, mais uniquement dans un cocon. La comparaison avec un sous-marin est donc plus appropriée qu’avec un avion ou même avec la station spatiale ISS, qui est de ce point de vue dangereuse pour les longs séjours.

Il existe une autre menace semblable. L’universitaire Sigrid Close accuse les poussières cosmiques de grands maux. Ce sont des grains bien plus fins que du sable, qui parcourent l’espace en tout sens. [news.stanford.edu/news/2013/february/space-dust-threat-022613.html] Ces poussières cosmiques (rappelons qu’elles sont bien plus présentes en L4 et L5 même si elles ont ici peu de vitesse) seraient la cause de la destruction de satellites et, chose étonnante, plus par effet d’impulsion électromagnétique que mécanique ! Si son hypothèse s’avère vraie, tous les équipements spatiaux permanents devront être blindés de plusieurs couches en oignon.

Mais n’oublions pas une chose, le vivant sait en partie se corriger des blessures infligées par ces rayonnements cosmiques qui étaient présents sur Terre lors de sa formation. Pour l’approvisionnent des travailleurs de l’espace, des études devront sélectionner les plantes et les animaux qui s’adaptent le mieux à ce type d’environnement. Après la recherche agronomique en milieu hostile (déserts, terres acides, profondeur,…), il faut entreprendre une agronomie spatiale !

Un refuge de dernier ressort

Hormis notre bonne vieille Terre, les grottes lunaires & martiennes sont des refuges de bonne qualité contre le rayonnement spatial, les explosions solaires ou encore les nuages de poussières cosmiques. Les seuls autres endroits utiles en ce sens seront construits par l’homme. Ce chantier naval de l’espace, cette ZIS, offrira un accès temporaire fiable et beaucoup plus accessible tout en restant moins perturbant pour les activités en place.

En effet les activités humaines en orbite basse terrestre seront partiellement protégées par la magnétosphère terrestre et les ceintures de Van Allen, sinon par un prompt retour sur Terre.

Pour la Lune, les hommes s’activant en surface, près des grottes, rejoindront leur abri sans problème, mais ceux qui en seront très éloignés devront utiliser une fusée pour rejoindre ces endroits. A partir de quand sera-t-il préférable de rallier ces grottes plutôt que les abris situés aux points de Lagrange ? Ce sera l’objet d’un calcul de chaque instant, mais l’option sera ouverte.

Pour les ouvriers de l’espace, en orbite géostationnaire ou lunaire, le refuge des points de Lagrange sera certes un peu plus long à atteindre que le retour vers la Lune ou la Terre, mais il offrira l’avantage incomparable de permettre un retour aisé au travail en cours : en effet les efforts à fournir pour revenir au lieu de travail d’avant l’alerte restera faible (en terme de delta V). De plus, ce havre-chantier serait aussi le lieu idéal pour entreprendre les réparations de matériel après l’alerte.

Si EM L1 sera le premier site pour un chantier spatial, L4 et L5 suivront vite dès que la menace des poussières sera, comme nous l’avons dit, sous contrôle. Celle-ci devra être maîtrisée pour une autre raison : Depuis que l’homme s’est élevé au dessus des nuages, il a laissé vagabonder beaucoup d’objets qui s’avèrent être dangereux. Il faut donc les répertorier et donner l’ordre aux satellites et à la station de dévier leur trajectoire à chaque occasion de rencontre !

L4 et L5 ne sont pas des points mais des zones géantes, qui ont la forme de deux bananes dont la taille dépend… de la vitesse des corps en orbite.

Selon l’orbite choisie, une base pourra voyager gratuitement sur des distances extraordinaires. Rien de tel pour l’observation distante des astres et pour nos chasseurs de météorites !

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Table des fonctionnalités des points de Lagrange
(Cliquez sur l’image pour agrandir)

 3. Des parcours de Lagrange et non pas des points

Il est facile de montrer, par un raisonnement intuitif, que l’existence des points L1, L2 et L3 dépend d’un équilibre subtil entre les forces gravitationnelles et centrifuges s’exerçant sur les corps situés en ces lieux. L’existence de ces trois points, situés sur la ligne reliant les deux corps principaux, peut-être comprise, de manière intuitive, beaucoup plus facilement.

Prenons un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre mais sur une même ligne (le point L1). La gravité solaire y est plus forte que sur Terre et l’objet tourne donc plus rapidement autour du Soleil que cette dernière (Kepler avait en effet montré dans sa troisième loi que plus les planètes sont éloignées du Soleil, moins elles tournent vite autour de lui). Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui permet à ce corps de tourner moins rapidement autour du Soleil que s’il était seul. Plus on rapproche l’objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, en L1, la vitesse angulaire de l’objet devient exactement égale à celle de la Terre, et la force centrifuge à laquelle est soumise l’objet est égale à la combinaison des forces gravitationnelles exercées sur celui-ci par le Soleil et la Terre.

Pour L2, le principe est similaire, mais de l’autre côté de la Terre, où l’objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre. Le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre lui permet toutefois de tourner plus vite autour du Soleil, tout en étant plus éloigné. À un certain point, en L2, l’objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil, et les forces centrifuges et gravitationnelles sont en équilibre.

Pour L3, de manière identique au point L2, il existe un point situé un peu plus loin que l’opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

Il va sans dire qu’il faut que le tout soit en rotation, autrement il n’y aurait aucune force centrifuge à l’œuvre en ces trois points et les objets qui y seraient situés s’écraseraient soit sur le Soleil ou sur la Terre. Le même raisonnement vaudrait pour le système Terre-Lune.

Pour les points L4 et L5, bien plus difficiles à concevoir d’un point de vue intuitif, une démonstration mathématique simple suffit pour établir qu’ils ne peuvent êtres situés qu’aux sommets de deux triangles équilatéraux, ayant pour base commune le segment reliant les deux corps principaux.

Mais pour que ces triangle équilatéraux restent stables (ou rigides), il faut tout d’abord que le tout soit, ici aussi, en rotation. S’il ne l’était pas, les forces centrifuges disparaîtraient et ne pourraient contrecarrer les forces gravitationnelles à l’œuvre entre les trois objets. Ceci est vrai peu importe où se situe le centre de gravité commun des trois objets.

Dès que l’on s’éloigne de L4 et L5, l’on n’est plus dans une relation de distance fixe par rapport aux deux autres corps, et puisque nous sommes dans un cadre en rotation, la force de Coriolis (celle qui fait dévier les courants marins et atmosphériques autour d’une Terre en rotation) entre en jeu et fait « graviter » (ou probablement devrions-nous dire « anti-graviter ») l’objet autour, du moins en apparence, de L4 et L5.

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Isoclines décrivant la géographie gravitationnelle autour des points de Lagrange

Autre point important : la masse relative des deux corps principaux semble n’avoir, pour les démonstrations mathématiques les plus simples, aucun impact sur l’existence ou l’emplacement des points L4 et L5 en particulier. Des modèles plus élaborés nous permettent cependant de dresser un plan complet des lignes de champ gravitationnel autour des corps concernés, comme on peut le voir dans la figure. Ces modèles exigent toutefois que le rapport des masses entre les deux principaux corps se situe dans une fourchette donnée, ou que la masse du troisième objet, celui qui sera situé aux points de Lagrange, soit négligeable par rapport à celle des deux corps principaux. Cette question reste à élucider et demande de confronter entre eux des modèles physique et numériques plus avancés.

Pour être plus précis, les 5 points de Lagrange n’existent, en tant que points, que pour deux corps en rotation circulaire et uniforme l’un autour de l’autre. Dès que l’orbite des deux corps principaux est elliptique, comme c’est le cas pour la plupart des planètes de notre système solaire ou notre Lune, ces points prennent la forme d’orbites oscillantes stables (d’ailleurs souvent en forme de 8) ne s’écartant pas beaucoup des régions correspondant aux points théoriques. Ainsi, dans la réalité de notre monde, il est préférable de parler de « parcours » et non pas de « points » de Lagrange.

Ces parcours ne sont donc pas des points mathématiques abstraits mais des orbites physiques, et exigent que l’on prenne en compte, si on désire y faire évoluer des structures stables (habités ou non), des règles dynamiques complexes et précises. Alors qu’ils ne revêtent, selon Lagrange, qu’un intérêt théorique, leur existence réelle en tant que parcours confirme la puissance de l’approche défendue par Johannes Kepler, qui fut le premier à accorder la priorité à la physique et non pas aux mathématiques, pour arriver à une compréhension utile des phénomènes astronomiques.

B. Chalifoux



[1Voir l’animation sur YouTube ici.

[2Le champ magnétique terrestre interagit avec le vent solaire, essentiellement composé d’hydrogène, et forme un bouclier appelé « la magnétosphère ». Un sous-ensemble de cette magnétosphère a la forme d’un tore et a été décrit en 1958 par Van Allen après que le premier satellite américain Explorer ait vu ses compteurs Geiger saturés. Dans cette ceinture, les particules se trouvent violentées et le niveau de radiation est plus qu’inhospitalier, ce n’est donc pas l’endroit idéal pour y stationner une flottille en attente d’un départ vers Mars.